En un artículo anterior hablamos del uso de un eclipse solar, junto a ideas de la geometría riemanniana, en la confirmación experimental de la teoría de la relatividad general de Einstein. Mucho antes, en el siglo III a. C., otros astrónomos ya habían hecho uso de otro eclipse, en este caso lunar, junto con conceptos de geometría elemental, para medir distancias en el cosmos sin telescopios, fotografías ni instrumentos modernos. Sus conclusiones les permitieron establecer el primer sistema heliocéntrico del que se tiene constancia.
Las estimaciones aparecen en la obra Sobre los tamaños y las distancias del Sol y de la Luna, del matemático griego Aristarco de Samos. En ella determinaba con bastante precisión estas magnitudes, así como sus distancias relativas a la Tierra. Su modelo de partida era geocéntrico (la teoría dominante en aquella época) y se apoyaba en tres hipótesis: que la Tierra, la Luna y el Sol son esféricos, que sus órbitas son circulares y que, como el radio de la órbita del Sol es mucho mayor que el de la Luna, sus rayos llegan prácticamente paralelos entre la Luna y la Tierra.
Desde las aportaciones de Johannes Kepler (1571–1630) sabemos que las órbitas son elípticas (y, desde antes, que el sistema ha de ser heliocéntrico), sin embargo, para la validez del razonamiento geométrico de Aristarco, no era necesario conocer con precisión la forma completa de las órbitas: él estudiaba una configuración concreta del Sol, la Tierra y la Luna en un instante determinado. Suponer órbitas circulares afectaba a la precisión de los valores obtenidos, pero no a la idea esencial del método.
Los cálculos de Aristarco se basaban en los Elementos de Euclides, 13 libros publicados hacia el año 300 a. C. que recogían y organizaban de forma axiomática todos los conocimientos de geometría de la época (en el primero, por ejemplo, se demostraba el famoso teorema de Pitágoras).
Aristarco encadenaba tres observaciones. La primera es que el Sol y la Luna se ven aproximadamente del mismo tamaño desde la Tierra, de ahí que un eclipse solar pueda ser total. Eso significa que la relación entre el radio de estos cuerpos y su distancia a la Tierra debía ser la misma, un cierto valor a.
La segunda observación la hizo al observar media Luna. En ese instante, el triángulo formado por los centros del Sol, la Tierra y la Luna es rectángulo en el vértice de la Luna (ver imagen inferior). El ángulo que forman las líneas que unen la Tierra con el Sol y a la Luna permite calcular, aplicando una simple fórmula de trigonometría, el valor de a y que se trata del inverso del coseno de ese ángulo.
Hoy sabemos que el ángulo mide, aproximadamente, 89,85°, lo que da un valor de a cercano a 382. Aristarco, midiendo a ojo, estimó el ángulo como 87° y obtuvo un valor de a de 19. El error del ángulo se magnifica, al dividir por valores muy pequeños, menores que la unidad (el coseno de 87 es 0,05 y el de 89,85 es 0,002).
La tercera observación es para la que necesitó un eclipse lunar. Aprovechando un eclipse lunar total de máxima duración (es decir, aquel en que el centro de la sombra de la Tierra pasa exactamente por el centro del disco lunar), Aristarco cronometró cuánto tardaba la Luna en atravesar el borde de esa sombra. Asumiendo que la velocidad angular de la Luna en el firmamento es constante, ese tiempo de tránsito le permitió comparar el tamaño de la sombra terrestre con el de la propia Luna y concluyó que la sombra era el doble de grande que la Luna (hoy sabemos que es, en realidad, unas 2,6 veces mayor).
Con ese dato, aplicó el famoso teorema de Tales sobre dos triángulos semejantes formados por el cono de sombra de la Tierra. Y, partiendo de su estimación de la relación a, pudo obtener el radio de la Luna (el razonamiento completo, para quien quiera seguirlo, está en la imagen inferior).
Curiosamente, su estimación del radio de la Luna es poco sensible al valor exacto de a: en la fórmula, a partir de un cierto tamaño no cambia mucho. Por eso, aunque Aristarco había errado en su valor de a por un factor de 20, ese fallo apenas se nota en el resultado que obtuvo. El radio debía ser, según sus cálculos, 0,35 veces el radio de la Tierra. Resulta una aproximación asombrosamente buena (el valor real es 0,273 veces el radio de la Tierra), sobre todo si se tiene en cuenta que se obtiene a partir solo de observaciones a simple vista y geometría elemental.
Para obtener un valor aproximado del radio de la Luna solo hubo que esperar unas décadas a Eratóstenes, quien, también mediante geometría elemental y con la ayuda del Sol, calculó el radio de la Tierra.
Además, Aristarco llevó sus propias estimaciones más allá. Combinó sus resultados con otros métodos elementales de trigonometría, como los que permiten el cálculo de volúmenes de esferas, para concluir que el Sol tenía un volumen ¡300 veces mayor que el de la Tierra! Con el valor correcto de a, sabemos hoy que es más de un millón de veces mayor. Aun así, ya con su estimación, a Aristarco le pareció poco razonable la idea de un Sol tan grande girando alrededor de un cuerpo tan pequeño, y ese fue uno de los argumentos que le llevaron a desafiar al mismísimo Aristóteles y a proponer, siglos antes que Copérnico, un modelo heliocéntrico del Sistema Solar, con el Sol en el centro.
Autoría:
Marina Logares es profesora de la Universidad Complutense de Madrid (UCM).
Ágata Timón es divulgadora de las matemáticas del CSIC en el ICMAT, donde coordina la Unidad de Cultura Matemática.
Mario García Fernández es científico titular del Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC) en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT).
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Dimensión fractal es un espacio del Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC-UAM-UC3M-UCM) en el que se ofrece una mirada matemática de la actualidad de la mano de personal investigador especializado.
